រូបមន្តគណិតវិទ្យា លីមីត នៃ អនុគមន៍ -Math formulas of Limits Function

រូបមន្តគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទី ១២

មេរៀន៖ លីមីតនៃអនុគមន៍

I. និយមន័យលីមីតត្រង់ចំនួនកំណត់

• អនុគមន៍ $f$ មានលីមីត $L$ កាលណា $x \to a$ បើ $\forall \epsilon > 0$ មាន $\delta > 0$ ដែល $0 < |x - a| < \delta$ នាំឲ្យ $|f(x) - L| < \epsilon$ ។
  គេសរសេរ៖
  $$\lim_{x \to a} f(x) = L$$
• អនុគមន៍ $f$ មានលីមីត $+\infty$ (ឬ $-\infty$) កាលណា $x \to a$ បើ $\forall M > 0$ មាន $\delta > 0$ ដែល $0 < |x - a| < \delta$ នាំឲ្យ $f(x) > M$ (ឬ $f(x) < -M$) ។
  គេសរសេរ៖
  $$\lim_{x \to a} f(x) = +\infty \quad \left( \text{ឬ } \lim_{x \to a} f(x) = -\infty \right)$$

II. និយមន័យលីមីតត្រង់អនន្ត

• អនុគមន៍ $f$ មានលីមីត $L$ កាលណា $x \to +\infty$ បើ $\forall \epsilon > 0$ មាន $N > 0$ ដែល $x > N$ នាំឲ្យ $|f(x) - L| < \epsilon$ ។
  គេសរសេរ៖
  $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$$
• អនុគមន៍ $f$ មានលីមីត $L$ កាលណា $x \to -\infty$ បើ $\forall \epsilon > 0$ មាន $N > 0$ ដែល $x < -N$ នាំឲ្យ $|f(x) - L| < \epsilon$ ។
  គេសរសេរ៖
  $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$$

III. ប្រមាណវិធីលើលីមីត

$$\lim_{x \to a} f(x) = L \; ,\; \lim_{x \to a} g(x) = M \; ,\; \lim_{x \to a} h(x) = N $$ នោះគេបាន៖

• $ \displaystyle \lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = L \pm M$
• $\displaystyle \lim_{x \to a} [f(x) + g(x) - h(x)] = L + M - N$
• $\displaystyle \lim_{x \to a} [k \cdot f(x)] = k \cdot L$ , $k$ ជាចំនួនថេរ
• $\displaystyle \lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x) \cdot h(x)] = L \cdot M \cdot N$
• $\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} = \frac{L}{M} \quad (M \neq 0)$
• $\displaystyle \lim_{x \to a} [f(x)]^n = L^n \;\; $ , $n$ ជាចំនួនគត់រ៉ីឡាទីប

IV. លីមីតនៃអនុគមន៍សនិទាន និងអសនិទាន

• $\displaystyle \lim_{x \to a} \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{a}$ , $a \ge 0$, $n \in \mathbb{N}$
• $\displaystyle \lim_{x \to a} \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{a}$ , $a < 0$, $n$ ជាចំនួនគត់សេស
• $\displaystyle \lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)} = \sqrt[n]{L} = L^{\frac{1}{n}}$
  • បើ $L \ge 0$ និង $n \in \mathbb{N}, n \ge 2$
  • បើ $L < 0$ និង $n \ge 2$ ជាចំនួនគត់សេស

V. លីមីតនៃអនុគមន៍បណ្តាក់

បើ $\lim_{x \to a} g(x) = L$ និង $\lim_{x \to L} f(x) = f(L)$ នោះគេបាន៖

$$\lim_{x \to a} f[g(x)] = f(L)$$

VI. លីមីតនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

• $\displaystyle \lim_{x \to a} \sin x = \sin a$
• $\displaystyle \lim_{x \to a} \cos x = \cos a$
• $\displaystyle \lim_{x \to a} \tan x = \tan a$
• $\displaystyle \lim_{x \to a} \cot x = \cot a$
• $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
• $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$
• $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x} = 0$
• $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1$

VII. លីមីតនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

• $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty $
• $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 $
• $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty $
• $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \quad (n > 0) $
• $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \quad (n > 0) $
• $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 $

VIII. លីមីតនៃអនុគមន៍លោការីតនេពែ

• $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$
• $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$
• $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$
• $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0 \quad (n > 0)$
• $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$
• $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0 \quad (n > 0)$
• $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$
• $\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty} x \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = 1$

IX. លីមីតមានរាងមិនកំណត់

• រាង $\frac{0}{0}$ ៖ ត្រូវសរសេរភាគយកនិងភាគបែងជាផលគុណកត្តា ហើយសម្រួលកត្តារួម រួចគណនាលីមីតថ្មី។
• រាង $\frac{\infty}{\infty}$ ៖ ត្រូវដាក់តួដែលមានដឺក្រេខ្ពស់ជាងគេទាំងភាគយក និងភាគបែងជាកត្តារួម ហើយសម្រួលកត្តារួមចោល រួចគណនាលីមីតនៃកន្សោមថ្មី។
• រាង $+\infty - \infty$ ៖ ត្រូវដាក់តួដែលមានដឺក្រេខ្ពស់ជាងគេជាកត្តារួម ហើយគណនាលីមីតនៃកន្សោមថ្មី។