អត្រាកំណែ - ប្រមាណវិធីលើរ៉ាឌីកាល់-ថ្នាក់ទី ៩

វិញ្ញាសាប្រឡងគណិតវិទ្យា

ប្រធានបទ៖ ប្រមាណវិធីលើរ៉ាឌីកាល់ (កម្រិតខ្ពស់)

រយៈពេល៖ ៦០ នាទី | ពិន្ទុសរុប៖ ១០០

---

ប្រធានវិញ្ញាសា

I. គណនា និងសម្រួលកន្សោមខាងក្រោម (៣០ ពិន្ទុ)

១. $$ A = 3 \sqrt{108} - 2 \sqrt{192} + \frac{1}{2} \sqrt{300} $$

២. $$ B = (2\sqrt{5} - 3\sqrt{2})(4\sqrt{5} + \sqrt{2}) $$

៣. $$ C = (3\sqrt{7} + 2\sqrt{3})^2 - (3\sqrt{7} - 2\sqrt{3})^2 $$

II. បំបាត់រ៉ាឌីកាល់ពីភាគបែង និងសម្រួលកន្សោម (៣០ ពិន្ទុ)

៤. $$ D = \frac{15}{\sqrt{5}} + \frac{10}{2\sqrt{5}} - 3\sqrt{5} $$

៥. $$ E = \frac{3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}}{\sqrt{6}} $$

III. គណនាកន្សោមចម្រុះ (៤០ ពិន្ទុ)

៦. $$ F = \frac{12}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} - \frac{6}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} $$

៧. $$ G = \left( \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \right) - \left( \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \right) $$

---

អត្រាកំណែ និងរបៀបដោះស្រាយ

I. គណនា និងសម្រួលកន្សោមខាងក្រោម (៣០ ពិន្ទុ - ១០ ពិន្ទុក្នុងមួយលំហាត់)

១. គណនា $A$:

$$ \begin{aligned} A &= 3 \sqrt{36 \times 3} - 2 \sqrt{64 \times 3} + \frac{1}{2} \sqrt{100 \times 3} \\ &= 3(6\sqrt{3}) - 2(8\sqrt{3}) + \frac{1}{2}(10\sqrt{3}) \\ &= 18\sqrt{3} - 16\sqrt{3} + 5\sqrt{3} \\ &= 7\sqrt{3} \end{aligned} $$

២. គណនា $B$:

$$ \begin{aligned} B &= 2\sqrt{5}(4\sqrt{5}) + 2\sqrt{5}(\sqrt{2}) - 3\sqrt{2}(4\sqrt{5}) - 3\sqrt{2}(\sqrt{2}) \\ &= 8(5) + 2\sqrt{10} - 12\sqrt{10} - 3(2) \\ &= 40 - 10\sqrt{10} - 6 \\ &= 34 - 10\sqrt{10} \end{aligned} $$

៣. គណនា $C$: (ប្រើរូបមន្ត $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$)

$$ \begin{aligned} C &= [(3\sqrt{7} + 2\sqrt{3}) + (3\sqrt{7} - 2\sqrt{3})][(3\sqrt{7} + 2\sqrt{3}) - (3\sqrt{7} - 2\sqrt{3})] \\ &= [6\sqrt{7}][4\sqrt{3}] \\ &= 24\sqrt{21} \end{aligned} $$

II. បំបាត់រ៉ាឌីកាល់ពីភាគបែង និងសម្រួលកន្សោម (៣០ ពិន្ទុ - ១៥ ពិន្ទុក្នុងមួយលំហាត់)

៤. គណនា $D$:

$$ \begin{aligned} D &= \frac{15\sqrt{5}}{5} + \frac{5}{\sqrt{5}} - 3\sqrt{5} \\ &= 3\sqrt{5} + \frac{5\sqrt{5}}{5} - 3\sqrt{5} \\ &= 3\sqrt{5} + \sqrt{5} - 3\sqrt{5} \\ &= \sqrt{5} \end{aligned} $$

៥. គណនា $E$:

$$ \begin{aligned} E &= \frac{(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})\sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} \\ &= \frac{3\sqrt{12} - 2\sqrt{18}}{6} \\ &= \frac{3(2\sqrt{3}) - 2(3\sqrt{2})}{6} \\ &= \frac{6\sqrt{3} - 6\sqrt{2}}{6} \\ &= \sqrt{3} - \sqrt{2} \end{aligned} $$

III. គណនាកន្សោមចម្រុះ (៤០ ពិន្ទុ - ២០ ពិន្ទុក្នុងមួយលំហាត់)

៦. គណនា $F$:

$$ \begin{aligned} F &= \frac{12(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} - \frac{6(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} \\ &= \frac{12\sqrt{3} - 12\sqrt{2}}{3 - 2} - \frac{6\sqrt{3} + 6\sqrt{2}}{3 - 2} \\ &= (12\sqrt{3} - 12\sqrt{2}) - (6\sqrt{3} + 6\sqrt{2}) \\ &= 12\sqrt{3} - 12\sqrt{2} - 6\sqrt{3} - 6\sqrt{2} \\ &= 6\sqrt{3} - 18\sqrt{2} \end{aligned} $$

៧. គណនា $G$:

$$ \begin{aligned} G &= \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} \\ &= \frac{(5 + 2\sqrt{15} + 3) - (5 - 2\sqrt{15} + 3)}{5 - 3} \\ &= \frac{(8 + 2\sqrt{15}) - (8 - 2\sqrt{15})}{2} \\ &= \frac{8 + 2\sqrt{15} - 8 + 2\sqrt{15}}{2} \\ &= \frac{4\sqrt{15}}{2} \\ &= 2\sqrt{15} \end{aligned} $$